Récoltes et Semailles
Récoltes et Semailles par Alexandre Grothendieck
Récoltes et Semailles est une œuvre réflexive et autobiographique du célèbre mathématicien qualifié de génie par plusieurs de ses pairs, Alexandre Grothendieck. Le livre est divisé en cinq parties, alternant entre des réflexions méditatives et des enquêtes approfondies. Grothendieck explore sa vie, son parcours mathématique, ainsi que les questions éthiques et philosophiques qui ont façonné ses expériences.
Les Thèmes Clés traités :
Passions Doubles : La vie de Grothendieck est dominée par sa passion pour la méditation et les mathématiques. Ces deux passions se reflètent dans la structure du livre, qui alterne entre des sections réflexives et des enquêtes.
Réflexions Éthiques : Une grande partie du livre est consacrée à l'exploration des questions éthiques dans la communauté mathématique. Grothendieck critique le manque de respect pour la créativité et l'exploitation des idées, et réfléchit aux applications néfastes pour la civilisation de certaines découvertes scientifiques.
Témoignage Personnel : Le livre est profondément personnel, avec Grothendieck partageant ses expériences, ses défis et ses joies. Il réfléchit à son parcours de mathématicien et aux leçons qu'il a apprises en cours de route.
Quête Philosophique : Grothendieck utilise ses expériences personnelles comme tremplin pour une quête philosophique. Il explore en profondeur des vérités sur la vie, la créativité et la condition humaine.
C’est un livre qui fait réfléchir les mathématiciens, mais également tous celles et ceux qui souhaitent vivre une vie créative et consciente.
Voici un aperçu de chaque partie.
Partie I : Fatuité et Renouvellement
Dans cette section introductive, Grothendieck pose les bases de ses réflexions. Il expose les deux passions qui dominent sa vie : la méditation et les mathématiques. Le livre est un mélange de témoignages personnels et de quêtes philosophiques, visant à découvrir des vérités plus profondes sur sa vie et son travail. C’est un peu comme si on l’entendait penser. Cette première partie débouche sur une méditation sur son présent, dont il découvre l'enracinement dans le passé.
Sa Passion pour les Mathématiques
Grothendieck décrit comment sa passion pour les mathématiques est née à l'âge de dix-sept ans, au sortir du lycée. Cette passion a dirigé le cours de sa vie pendant les vingt-cinq années suivantes. Cette passion ne s'est jamais éteinte, même si elle ne dirige plus sa vie comme avant. Il la compare à une relation amoureuse comme le font souvent les mathématiciens passionnés.
Son génie
Grothendieck affirme que son génie particulier est de découvrir des points de vue féconds qui révèlent l'unité dans la multiplicité des choses mathématiques. Il considère que c'est ce qu'il a apporté de plus essentiel à la mathématique de son temps. Il explique que ces points de vue féconds sont les outils les plus puissants de découverte en mathématiques, car ils permettent de voir l'unité dans la diversité et de découvrir des analogies insoupçonnées. Il les compare à des yeux qui permettent de découvrir et de reconnaître l'unité dans la multiplicité de ce qui est découvert.
« Ainsi, le point de vue fécond n’est autre que cet 'œil' qui à la fois nous fait découvrir, et nous fait reconnaître l’unité dans la multiplicité de ce qui est découvert. Et cette unité est véritablement la vie même et le souffle qui relie et anime ces choses multiples.
Mais comme son nom même le suggère, un 'point de vue' en lui-même reste parcellaire. Il nous révèle un des aspects d’un paysage ou d’un panorama, parmi une multiplicité d’autres également valables, également 'réels.
C’est dans la mesure où se conjuguent les points de vue complémentaires d’une même réalité, où se multiplient nos 'yeux', que le regard pénètre plus avant dans la connaissance des choses. Plus la réalité que nous désirons connaître est riche et complexe, et plus aussi il est important de disposer de plusieurs 'yeux' pour l’appréhender dans toute son ampleur et dans toute sa finesse.
Et il arrive, parfois, qu’un faisceau de points de vue convergents sur un même et vaste paysage, par la vertu de cela en nous apte à saisir l’Un à travers le multiple, donne corps à une chose nouvelle ; à une chose qui dépasse chacune des perspectives partielles, de la même façon qu’un être vivant dépasse chacun de ses membres et de ses organes. Cette chose nouvelle, on peut l’appeler une vision. »
Alexandre Grothendieck
Son Attrait pour Comprendre les Motifs
Grothendieck explique son attrait pour comprendre les motifs (patterns) en mathématiques. Il décrit comment la notion de motifs est née de ses réflexions sur les poids et les conjectures de Weil. Il considère les motifs comme les invariants les plus profonds de la forme d'une variété algébrique, représentant une sorte de cordon reliant les propriétés algébro-géométriques d'une variété aux propriétés arithmétiques. Cette vision des motifs a été une source d'inspiration majeure dans son travail et a influencé de nombreux autres mathématiciens.
La Puissance d'une Vision
Grothendieck met l’accent sur la puissance d'un point de vue ou d'une vision, qui ne peut se mesurer en termes strictement techniques. Il s'agit avant tout de sa puissance suggestive, comme guide discret et sûr dans le voyage de découverte, soufflant aux moments sensibles la bonne notion à introduire, le bon énoncé à dégager et à prouver, la théorie qui reste à développer. Il explique que c'est d'avoir oublié une telle vision-guide qui a conduit à un état de confusion et de marasme dans la théorie cohomologique des variétés algébriques après son départ.
Structure Cachée
Il exprime sa fascination pour la structure cachée dans les choses mathématiques. Il explique que la structure d'une chose n'est pas quelque chose que nous pouvons inventer, mais que nous pouvons seulement découvrir patiemment et humblement. Il décrit le processus de découverte comme un mouvement de va-et-vient continuel entre l'appréhension des choses et l'expression de ce qui est appréhendé, par un langage qui s'affine et se recrée au fil du travail.
L'Enterrement
Grothendieck utilise la métaphore de l'enterrement pour décrire la suppression et la négligence du travail innovant en mathématiques. Il discute de la dégradation des normes éthiques, de l'exploitation des idées et du manque de respect pour le processus créatif. Cette réflexion est inséparable de celle qui la précède, dont elle est issue et qui lui donne tout son sens.
Naissance de Récoltes et Semailles
Dans cette première partie, Grothendieck explique comment Récoltes et Semailles est né. Il a commencé à écrire les premières pages de l'introduction en juin 1983, à un moment creux dans l'écriture du premier volume de La Poursuite des Champs. Ce travail est devenu un voyage de découverte, à la fois personnel et mathématique, qui a duré plusieurs mois et a abouti à la rédaction de ce livre.
La première partie sert de fondation pour les réflexions et les enquêtes qui suivent. Grothendieck y établit les thèmes principaux de son œuvre, notamment la quête de vérité, l'importance de la créativité et les défis éthiques dans le monde des mathématiques. Cette section est une introduction essentielle pour comprendre le reste de son travail.
Partie II : L’Enterrement (1) - ou la Robe de l’Empereur de Chine
La deuxième partie est une exploration approfondie du travail mathématique de Grothendieck et de ses réflexions personnelles. Cette section est structurée en plusieurs sous-sections, chacune abordant un aspect différent de son œuvre et de sa philosophie.
2.1. La magie des choses
Grothendieck commence par discuter de la magie des choses, c'est-à-dire la fascination et l'émerveillement qu'il ressent face aux découvertes mathématiques. Il décrit comment cette magie a été une source constante d'inspiration et de motivation dans son travail.
2.2. L’importance d’être seul
Dans cette sous-section, Grothendieck souligne l'importance de la solitude pour la créativité. Il explique que la solitude lui a permis de se concentrer profondément sur ses idées et de développer des concepts novateurs sans les distractions du monde extérieur.
2.3. L’aventure intérieure ou mythe et témoignage
Grothendieck explore l'idée de l'aventure intérieure, comparant son parcours mathématique à un voyage mythique. Il partage des témoignages personnels sur les défis et les triomphes qu'il a rencontrés au cours de sa carrière.
Il commence par expliquer que Récoltes et Semailles est avant tout une réflexion sur lui-même et sur sa vie. Il considère cette œuvre comme un témoignage à la fois sur son passé et sur son présent immédiat, au moment où il écrit ces pages.
Son récit-témoignage se poursuit sur deux niveaux : l'exploration d'une aventure dans le passé, de ses racines et de son origine jusque dans son enfance, et la continuation et le renouvellement de cette même aventure au fil des instants et des jours.
Une enfance particulière
Alexandre Grothendieck est né le 28 mars 1928 à Berlin, en Allemagne. Ses parents étaient anarchistes et juifs, ce qui a eu un impact significatif sur sa vie et son parcours. Il a déménagé en France avec sa mère en 1939, fuyant la montée du nazisme en Allemagne. Pendant la guerre, ils ont été internés dans des camps de concentration en France en raison de leur statut de réfugiés juifs et étrangers. Après la guerre, ils se sont installés dans un petit hameau près de Montpellier.
Grothendieck mentionne que son père a été déporté à Auschwitz en 1942, où il a disparu. Cette perte a eu un impact profond sur lui et sa mère, qui est sortie des camps affaiblie et malade.
Après plusieurs années de séparation avec ses parents, il décrit la rupture qu’il a ressenti avec son enfance, percevant ses parents comme des étrangers. Cette rupture a été marquée par des mécanismes d'oubli efficaces qui ont enterré son enfance et ses relations avec ses parents.
Identification à son Père
Malgré cette rupture, Grothendieck exprime une identification profonde à son père, qu'il décrit comme le « cœur paisible et puissant » de son sentiment de force personnelle. Il explique que cette identification n'était pas liée à l'exaltation de certaines valeurs, mais plutôt à un équilibre yin-yang, où l'intuition et la spontanéité avaient autant de place que l'intellect et la volonté.
Il a été fasciné par les mathématiques dès ses premières années de lycée, malgré les conditions difficiles de l'époque. L’adolecent passait beaucoup de temps à résoudre des problèmes de mathématiques, même pendant les cours, et il était souvent insatisfait des explications fournies dans les manuels scolaires.
Après ses études au lycée de Montpellier, Grothendieck s'est inscrit à l'Université de Montpellier pour étudier la physique, attiré par le prestige de la physique atomique. Cependant, il a rapidement réalisé que les cours de la faculté ne répondaient pas à ses attentes et qu'il devait travailler par ses propres moyens pour comprendre les mystères de la matière et de l'énergie. Il a donc décidé de se concentrer sur les mathématiques, tout en suivant quelques cours à distance.
Pendant ses années à l'Université de Montpellier, Grothendieck a passé la plupart de son temps à travailler seul sur des problèmes mathématiques. Il explique qu'il se sentait souvent seul au monde à s'intéresser aux questions mathématiques. Il a même développé une théorie de la mesure et de l'intégration sans savoir que ces concepts étaient déjà bien connus sous le nom de « théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue ».
Départ pour Paris
En 1948, âgé de vingt ans, Grothendieck est arrivé à Paris avec une Licence ès Sciences de l'Université de Montpellier et un manuscrit représentant trois ans de réflexions solitaires sur la théorie de la mesure. Il découvre alors l'existence d'un monde mathématique beaucoup plus vaste et commence à se familiariser avec des concepts mathématiques avancés tels que les espaces topologiques, les groupes, les anneaux, et les modules.
Rencontre avec Henri Cartan
Il rencontre Henri Cartan, un mathématicien influent qui l'accueille avec courtoisie et bienveillance. Cartan a joué un rôle crucial dans l'orientation des études de Grothendieck, il l'a introduit à des concepts mathématiques avancés. Grothendieck a assisté aux cours de Cartan à l'École Normale Supérieure et au Séminaire Cartan, où il a été témoin de discussions entre Cartan et Jean-Pierre Serre sur des sujets mathématiques complexes.
Les années d'études de Grothendieck ont été marquées par une quête incessante de compréhension et de découverte. Sa passion pour les mathématiques, son travail en solitaire, et ses rencontres avec des mathématiciens influents ont jeté les bases d’une carrière exceptionnelle et de contributions majeures aux mathématiques.
Le Groupe Bourbaki
Alexandre Grothendieck a rejoint le groupe de mathématiciens connu sous le nom de Bourbaki. Ce groupe a joué un rôle crucial dans le développement de la mathématique moderne et a eu une influence significative sur sa carrière.
Il a participé régulièrement aux activités du groupe pendant les années 1950 et 1960. Il décrit ce groupe comme un « monde sans conflit », où les membres travaillaient collectivement dans le respect des détails et de la liberté individuelle. Il souligne que plus de la moitié de ses collègues proches étaient des membres actifs de Bourbaki. Le noyau de son microcosme mathématique était constitué des mathématiciens les plus proches de ce groupe.
Même après avoir cessé de faire partie du groupe dans les années 1960, Grothendieck a maintenu des relations étroites avec certains membres, notamment Dieudonné, Serre, Tate, Lang, et Cartier. Il a continué à être un habitué du Séminaire Bourbaki, où il a fait la plupart de ses exposés sur la théorie des schémas.
Dans les années 1960, le groupe Bourbaki a glissé vers un élitisme de plus en plus prononcé. Grothendiecka été surpris de découvrir en 1970 que le nom de Bourbaki était devenu impopulaire dans certaines parties du monde mathématique, étant associé à l'élitisme, au dogmatisme étroit, et à l'hermétisme. Malgré cela, il souligne que le groupe a toujours eu un sens vif pour la substance mathématique, indépendamment des styles et des modes.
La médaille Fields
Grothendieck a atteint l'apogée de sa carrière dans les années 1960, lorsqu'il a reçu la médaille Fields en 1966, l'une des plus hautes distinctions en mathématiques. Cependant, il n'est pas allé chercher sa médaille car l'événement se déroulait en Russie, un pays qu'il refusait de visiter en raison de ses convictions politiques
Départ de l'IHES
En 1970, Grothendieck quitte l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) après y avoir enseigné pendant douze ans, lorsqu’il découvre que l'institution est partiellement financée par des fonds militaires et qu’il ne réussit pas à les convaincre de refuser ce financement. Il considère que c’est incompatible avec ses principes. Ce départ a marqué une césure importante dans sa vie de mathématicien. Il a ensuite quitté le « grand monde » mathématique et s'est engagé dans des activités de militantisme anti-militariste et écologique.
Exclusion et Réflexion
Grothendieck a également été confronté à des tentatives d'éviction de son œuvre mathématique, notamment avec la publication de certains volumes de SGA (Séminaire de Géométrie Algébrique) sans mention de son rôle crucial. Il a ressenti ces actions comme une forme de « coup de scie » brutal mettant fin à la série des SGA, il exprime sa frustration face à l'absence de reconnaissance de son travail.
La carrière d'Alexandre Grothendieck a été marquée par des contributions majeures aux mathématiques, et une reconnaissance internationale. Cependant, ses convictions personnelles et ses principes éthiques l'ont conduit à quitter le monde académique à l'apogée de sa gloire. Son départ de l'IHES et son engagement dans d'autres causes montrent la profondeur de ses convictions et son désir de rester fidèle à ses valeurs.
Grothendieck explique que les faits extérieurs viennent alimenter sa réflexion dans la mesure où ils suscitent et provoquent un rebondissement de l'aventure intérieure ou contribuent à l'éclairer. Il mentionne que l'enterrement et le pillage de son œuvre mathématique ont été une telle provocation, suscitant en lui des réactions égotiques puissantes et révélant les liens profonds et ignorés qui continuent à le relier à son œuvre.
Une Méditation salvatrice
Il raconte une méditation cruciale, suivie d'un rêve bouleversant qui a marqué un tournant essentiel dans son aventure spirituelle. Ce moment de découverte et de renouvellement profond a été vécu comme une naissance, un recommencement de quelque chose qui avait été interrompu et qui était reparti mystérieusement.
Grothendieck parle de la restauration progressive de l'équilibre originel du yin et du yang en lui, au fil des jours, des semaines et des années. Il décrit comment cette connaissance profonde de sa propre nature et de son unité essentielle a influencé son parcours et ses réflexions.
2.4. Le tableau de mœurs
Cette section offre un tableau de mœurs de la communauté mathématique, décrivant les interactions sociales et professionnelles entre les mathématiciens. Grothendieck critique certaines pratiques et attitudes qu'il considère comme nuisibles à la créativité et à l'innovation.
Voici quelques exemples de ces pratiques :
Mépris pour l'Âme et la Créativité
Grothendieck critique l'attitude de mépris envers l'âme et la créativité des mathématiciens. Il explique que certains collègues et amis trouvent ridicule d'étaler en public leurs états d'âme et considèrent que seuls les résultats comptent. Cette attitude, selon lui, est une fuite de la réalité et un dérèglement promu par l'air même que les mathématiciens respirent.
Dégradation des Relations et de l'Éthique
Il mentionne une dégradation sans précédent de la qualité des relations et des formes élémentaires de courtoisie et de respect d'autrui dans le milieu scientifique et universitaire. Cette dégradation est liée à une érosion de l'éthique scientifique, qui est indissolublement liée au respect d'autrui et de soi-même.
Mystifications et Impostures
Grothendieck parle de mystifications et d'impostures dans le langage mathématique courant. Il explique que des noms anodins de livres, de notions ou d'énoncés sont en réalité des mystifications ou des impostures, témoignant de la disgrâce d'une époque. Il considère que ces pratiques sont une forme de pillage intellectuel et de déshonneur pour la communauté mathématique.
Escroqueries et Magouillages
Il décrit des opérations qu'il qualifie d'escroqueries, où des mathématiciens de renom s'approprient le travail d'autres chercheurs sans les créditer. Il considère que ces pratiques sont monnaie courante et parfaitement admises, tant qu'elles sont pratiquées par des mathématiciens influents. Grothendieck voit cela comme une disgrâce pour la génération de mathématiciens qui tolère de telles pratiques.
Ostracisme et Mésestime
Grothendieck mentionne également des signes d'ostracisme, de mésestime et de discourtoisie dans son institution d'attache, l'Université des Sciences et Techniques du Languedoc (USTL). Il explique que ces attitudes reflètent l'esprit de l'Enterrement, une métaphore qu'il utilise pour décrire la suppression et la négligence de son œuvre mathématique.
2.5. Les héritiers et le bâtisseur
Le mathématicien distingue entre les héritiers, ceux qui suivent les chemins tracés par d'autres, et les bâtisseurs, ceux qui créent de nouvelles voies. Il se voit comme un bâtisseur, toujours à la recherche de nouvelles idées et de nouvelles perspectives.
2.6. Point de vue et vision
Dans cette sous-section, Grothendieck discute de l'importance des points de vue et des visions en mathématiques. Il explique comment un changement de perspective peut révéler des connexions et des structures cachées, ouvrant de nouvelles voies de recherche.
2.7. La "grande idée" - ou les arbres et la forêt
Grothendieck parle de la "grande idée" qui sous-tend son travail, comparant les idées mathématiques à une forêt où chaque arbre représente une découverte individuelle. Il souligne l'importance de voir la forêt dans son ensemble plutôt que de se concentrer uniquement sur les arbres individuels.
2.8. La vision - ou douze thèmes pour une harmonie
Il présente douze thèmes principaux qui traversent son œuvre, chacun contribuant à une vision harmonieuse et unifiée des mathématiques. Ces thèmes sont des fils conducteurs qui relient ses différentes découvertes et théories.
Les Douze Thèmes
Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires :
Développement de la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, qui a été une partie importante de sa thèse en 1953 et de sa période d'analyse fonctionnelle entre 1950 et 1955.
Dualité "continue" et "discrète" (catégories dérivées, "six opérations") :
Exploration de la dualité entre les structures continues et discrètes, et développement des catégories dérivées et des six opérations.
Yoga Riemann-Roch-Grothendieck (K-théorie, relation à la théorie des intersections) :
Développement de la K-théorie et de ses relations avec la théorie des intersections, connu sous le nom de Yoga Riemann-Roch-Grothendieck.
Schémas :
Introduction et développement de la théorie des schémas, qui a transformé la notion de variété algébrique.
Topos :
Développement de la notion de topos, une métamorphose profonde de la notion d'espace.
Cohomologie étale et l-adique :
Développement de la cohomologie étale et l-adique, qui a fourni des outils puissants pour l'étude des variétés algébriques.
Motifs et groupe de Galois motivique (⊗-catégories de Grothendieck) :
Introduction de la théorie des motifs et du groupe de Galois motivique, utilisant les ⊗-catégories de Grothendieck.
Cristaux et cohomologie cristalline, yoga "coefficients de De Rham", "coefficient de Hodge" :
Développement de la cohomologie cristalline et des concepts associés, tels que les coefficients de De Rham et de Hodge.
"Algèbre topologique" : ∞-champs, dérivateurs ; formalisme cohomologique des topos, comme inspiration pour une nouvelle algèbre homotopique :
Exploration de l'algèbre topologique, des ∞-champs, des dérivateurs, et du formalisme cohomologique des topos.
Topologie modérée :
Développement de la topologie modérée, une nouvelle approche pour étudier les structures topologiques.
Yoga de géométrie algébrique anabélienne, théorie de Galois-Teichmüller :
Introduction du yoga de géométrie algébrique anabélienne et de la théorie de Galois-Teichmüller.
Point de vue "schématique" ou "arithmétique" pour les polyèdres réguliers et les configurations régulières en tous genres :
Application du point de vue schématique ou arithmétique aux polyèdres réguliers et aux configurations régulières.
Ces douze thèmes montrent la profondeur et l'étendue des contributions de Grothendieck aux mathématiques, chacun apportant une nouvelle perspective et des outils puissants pour la recherche mathématique
2.9. Forme et structure - ou la voie des choses
Grothendieck explore la relation entre la forme et la structure en mathématiques, expliquant comment la compréhension de la structure sous-jacente des objets mathématiques peut révéler des vérités profondes et inattendues.
Voici quelques exemples et métaphores qu'il utilise pour illustrer ses idées :
Structure Cachée
Grothendieck exprime sa fascination pour la structure cachée dans les choses mathématiques. Il explique que la structure d'une chose n'est pas quelque chose que nous pouvons "inventer", mais que nous pouvons seulement découvrir patiemment et humblement. Il compare ce processus à celui d'un forgeron ou d'un bâtisseur, qui ne façonne pas les structures mais les exprime fidèlement.
Langage et Théories
Il décrit le processus de découverte comme un mouvement de va-et-vient continuel entre l'appréhension des choses et l'expression de ce qui est appréhendé, par un langage qui s'affine et se recrée au fil du travail. Il explique que les théories mathématiques sont construites de toutes pièces pour rendre compte de ce qui a été appréhendé et vu, et que ce processus nécessite une inventivité constante pour exprimer de plus en plus finement la structure intime des choses mathématiques.
Métaphore de la Maison
Grothendieck utilise la métaphore de la maison pour illustrer son point de vue. Il explique que la maison la plus belle n'est pas celle qui est la plus grande ou la plus haute, mais celle qui reflète fidèlement la structure et la beauté cachées des choses. Il compare les théories mathématiques aux "belles maisons" dont nous héritons et celles que nous bâtissons de nos propres mains, à l'écoute des choses.
Attention et Écoute
Il souligne que la qualité de l'inventivité et de l'imagination du chercheur réside dans sa capacité à être à l'écoute de la voix des choses, tout comme un bon architecte doit écouter et comprendre le terrain avant de construire une maison .
Grothendieck explique que les choses de l'Univers ne se lassent jamais de parler d'elles-mêmes et de se révéler à celui qui se soucie d'entendre. La qualité de l'inventivité et de l'imagination du chercheur réside dans sa capacité à être à l'écoute de la voix des choses.
2.10. La géométrie nouvelle - ou les épousailles du nombre et de la grandeur
Il aborde la "géométrie nouvelle", une approche qui marie les concepts de nombre et de grandeur pour créer une compréhension plus riche et plus complète des objets mathématiques.
Grothendieck utilise la métaphore des « épousailles » pour décrire l'union des concepts de nombre (arithmétique) et de grandeur (analyse). Il explique que « le nombre » est apte à saisir la structure des agrégats discontinus ou discrets, tandis que « la grandeur » est la qualité par excellence susceptible de variation continue. Cette union permet de saisir à la fois les structures discontinues et continues, créant ainsi une vision unifiée des mathématiques.
Il parle de la nécessité d'un principe nouveau pour relier les objets géométriques aux espaces topologiques habituels. Ce principe permet de consommer les « épousailles du nombre et de la grandeur » ou de la « géométrie du discontinu » avec celle du « continu ». Il compare cette découverte à un coup de baguette magique qui révèle une nouvelle dimension de continuité dans la géométrie.
2.11. L’éventail magique - ou l’innocence
Grothendieck parle de l'importance de l'innocence et de la curiosité dans la découverte mathématique. Il compare l'innocence à un éventail magique qui ouvre des portes vers de nouvelles idées et perspectives.
2.12. La topologie - ou l’arpentage des brumes
Il explore la topologie, une branche des mathématiques qui étudie les propriétés des espaces qui restent invariantes sous des transformations continues. Grothendieck compare la topologie à l'arpentage des brumes, une exploration des structures cachées et des connexions invisibles.
Il décrit la structure topologique comme une « structure de qualité pure » incarnée par un espace topologique. Il explique que cette structure est dépourvue de toute donnée quantitative, comme la distance entre deux points, ce qui la rend initialement difficile à appréhender. Cependant, au cours du siècle écoulé, les mathématiciens ont réussi à cerner ces espaces dans un langage soigneusement élaboré.
Mètres et Toises
Il utilise la métaphore des "mètres" ou des "toises" pour décrire les invariants topologiques, des mesures inventées pour attacher des sortes de mesures à ces espaces tentaculaires qui semblaient se dérober à toute tentative de mensuration. Ces invariants, bien que souvent plus subtils qu'un simple nombre ou une grandeur, sont des structures mathématiques délicates qui permettent de comprendre la forme et la structure des espaces topologiques.
Il explique que les espaces topologiques peuvent souvent sembler insaisissables, comme des brumes, mais que les mathématiciens ont développé des outils pour les mesurer et les comprendre.
Faisceaux et Catégories
Il parle de la notion de faisceau, introduite par Jean Leray, comme un outil crucial pour comprendre les espaces topologiques. Les faisceaux permettent de reconstituer un espace topologique en termes de catégories, offrant une nouvelle perspective sur la structure de ces espaces. Grothendieck explique que cette approche permet de traduire des notions topologiques en termes algébriques, enrichissant ainsi la compréhension des deux domaines.
2.13. Les topos - ou le lit à deux places
Enfin, Grothendieck discute des topos, une notion qu'il a développée pour unifier différentes branches des mathématiques. Il compare les topos à un lit à deux places, symbolisant l'union de concepts apparemment disparates en une structure cohérente et unifiée.
Il utilise la métaphore du lit à deux places pour décrire l'idée du topos, qui permet d'unir la géométrie et l'algèbre, la topologie et l'arithmétique, la logique mathématique et la théorie des catégories, le monde du continu et celui des structures discontinues ou discrètes. Il explique que ce « lit » spacieux permet aux futurs époux (les concepts mathématiques) de se rencontrer et de s'unir harmonieusement.
Chambre Nuptiale
Il compare également le topos à une chambre nuptiale avec un vaste lit conjugal, si vaste que tous les chevaux du roi y pourraient boire ensemble. Cette métaphore souligne la capacité du topos à englober une grande diversité de concepts mathématiques dans une structure unifiée et cohérente.
Superstructure d’Arpentage
Grothendieck décrit le topos comme une "superstructure d'arpentage", une catégorie des faisceaux sur un espace topologique donné. Cette structure permet de reconstituer un espace topologique de toutes pièces, incarnant ce qui est le plus essentiel à l'espace. Il explique que cette approche permet de saisir la forme et la structure des variétés algébriques abstraites et des schémas généraux.
Synthèse des Mondes
Il parle de la notion de topos comme d'une synthèse des mondes de la géométrie algébrique, de l'arithmétique et de la topologie. Cette synthèse permet de relier des concepts qui semblaient auparavant séparés, créant une intuition géométrique commune qui unifie ces domaines mathématiques.
Renouvellement de la Géométrie
Grothendieck souligne que la notion de topos constitue une extension et une métamorphose de la notion d'espace. Elle porte la promesse d'un renouvellement de la topologie et de la géométrie, jouant un rôle crucial dans l'essor de la géométrie nouvelle. Il explique que cette notion permet de transposer les intuitions et les constructions géométriques essentielles des espaces topologiques traditionnels aux nouveaux « espaces » appelés topos.
La deuxième partie de Récoltes et Semailles est une exploration riche et profonde du travail mathématique de Grothendieck et de ses réflexions personnelles. Elle offre un aperçu de sa philosophie, de ses méthodes de travail et des thèmes qui traversent son œuvre. Cette section est essentielle pour comprendre l'impact et l'importance de ses contributions aux mathématiques.
Partie III : L’Enterrement (2) - ou la Clef du Yin et du Yang
Cette section est une rétrospective de la vie et du travail de Grothendieck, présentée sous la forme d'une longue lettre. Il y partage ses réflexions sur la naissance de Récoltes et Semailles, la mort de son mentor, et les projets inachevés qu'il a laissés derrière lui.
3.1. La lettre de mille pages
Grothendieck commence par expliquer que Récoltes et Semailles est une lettre de mille pages, destinée à ses amis et collègues. Il considère cette lettre comme une introduction et un avant-propos à son œuvre, où il partage ses réflexions et témoignage sur son passé de mathématicien.
3.2. Naissance de Récoltes et Semailles (une rétrospective-éclair)
Dans cette section, Grothendieck raconte comment Récoltes et Semailles est né. Il explique que ce travail a commencé comme une introduction à un autre ouvrage mathématique, À la Poursuite des Champs, mais a rapidement évolué pour devenir une réflexion approfondie sur sa vie et son travail. Il décrit ce processus comme une découverte et un renouvellement de son aventure intérieure.
3.3. Le décès du patron - chantiers à l’abandon
Grothendieck parle de la mort de son mentor, Claude Chevalley, qu'il appelle « le patron », et des projets mathématiques qu'il a laissés inachevés. Il exprime sa tristesse et sa frustration face à ces chantiers abandonnés, mais aussi son désir de continuer à explorer et à comprendre les mathématiques.
Il décrit Chevalley comme un mathématicien influent et un modèle pour lui. Il parle de la naïveté et de l'innocence de Chevalley, des qualités qu'il admire et auxquelles il s'identifie.
3.4. Un vent d’enterrement
Cette section est une réflexion sur l'impact de la mort de son mentor et sur la manière dont cela a influencé son propre travail. Grothendieck utilise la métaphore d'un « vent d'enterrement » pour décrire le sentiment de perte et de désorientation qu'il a ressenti.
3.5. Le voyage
Grothendieck présente son parcours mathématique comme un voyage, avec ses hauts et ses bas, ses découvertes et ses défis. Il partage des anecdotes personnelles et des réflexions sur les moments clés de sa carrière.
3.6. Le versant d’ombre - ou création et mépris
Dans cette section, Grothendieck explore les aspects sombres de la création mathématique, y compris le mépris et la jalousie qu'il a rencontrés. Il parle de la difficulté de maintenir sa créativité face à ces obstacles et de l'importance de rester fidèle à soi-même.
3.7. Le respect et la fortitude
Grothendieck souligne l'importance du respect et de la fortitude dans la poursuite de la connaissance. Il explique que ces qualités sont essentielles pour surmonter les défis et les frustrations de la recherche mathématique.
3.8. « Mes proches » - ou la connivence
Il parle de ses relations avec ses collègues et amis mathématiciens, qu'il appelle mes proches. Il décrit la connivence et la camaraderie qui ont marqué ces relations, ainsi que les tensions et les conflits qui ont parfois surgis.
3.9. Le dépouillement
Grothendieck réfléchit sur le dépouillement, à la fois matériel et spirituel, qu'il a vécu au cours de sa vie. Il parle de la simplicité et de l'humilité comme des valeurs importantes dans sa quête de vérité et de compréhension.
Il explique qu'il a dû surmonter des résistances intérieures considérables pour se séparer de certaines images familières et solidement ancrées. Il décrit ce processus comme un travail patient, méticuleux et tenace, visant à résorber ces résistances et à retrouver une perception directe et nuancée de la réalité.
Grothendieck parle du dépouillement comme d'une libération bienvenue et d'un soulagement immédiat. Il explique que se séparer des idées toutes faites et des habitudes enracinées n'est pas un déchirement, mais plutôt une récompense et le fruit d'un travail. Ce processus de dépouillement lui a apporté des moments de tristesse, mais jamais de regret ni d'amertume.
Il souligne l'importance de la simplicité et de l'humilité dans sa quête de vérité. Il explique que ces qualités sont essentielles pour voir les choses simplement pour ce qu'elles sont, sans les déformer par des illusions ou des préjugés. Il considère que la simplicité et l'humilité sont des attitudes de service, permettant de consacrer le temps nécessaire pour comprendre et décrire les choses nouvelles et dédaignées de tous.
Réflexion sur l'Impuissance et la Force Créatrice
Grothendieck explore la relation entre l'impuissance et la force créatrice, expliquant que la connaissance de notre état d'impuissance recouvre et cache la connaissance de notre force créatrice. Il considère que cette force est indissociable de notre vraie nature et qu'elle est essentielle pour la créativité et l'innovation.
Il parle également du dépouillement matériel, expliquant qu'il a choisi de vivre simplement et de se débarrasser des possessions matérielles superflues. Il considère que ce dépouillement matériel est lié à un dépouillement spirituel, permettant de se concentrer sur l'essentiel et de rester fidèle à ses valeurs et à sa quête de vérité.
3.10. Quatre vagues dans un mouvement
Il décrit les « quatre vagues » de réflexion et de découverte qui ont marqué son travail pour Récoltes et Semailles (les thèmes clés présentés au début de ce résumé). Ces vagues représentent des moments clés de son parcours, où il a fait des découvertes importantes et a approfondi sa compréhension des mathématiques.
Voici un résumé de ces vagues :
Première Vague : Fatuité et Renouvellement
La première vague, intitulée Fatuité et Renouvellement, est une première rencontre avec le passé de Grothendieck en tant que mathématicien. Cette partie débouche sur une méditation sur son présent, dont il découvre l'enracinement dans ce passé.
Deuxième Vague : L'Enterrement (1) - ou la robe de l'Empereur de Chine
La deuxième vague, intitulée "L'Enterrement (1) - ou la robe de l'Empereur de Chine", est plus qu'une enquête. C'est l'histoire de la découverte de l'Enterrement au jour le jour, de son impact sur son être, et de ses efforts pour faire face à cette révélation inattendue.
Grothendieck décrit cette vague comme une découverte progressive de l'Enterrement, un terme qu'il utilise pour désigner la suppression et la négligence de son œuvre mathématique par ses collègues et élèves. Il explique que cette découverte a eu un impact profond sur lui, le confrontant à des réalités qu'il n'avait pas anticipées. Il explique comment il a dû faire face à ces révélations choquantes et à des sentiments de trahison. Grothendieck compare cette expérience à celle de l'Empereur de Chine dans le conte La robe de l'Empereur de Chine, où l'empereur est abusé par des escrocs et se retrouve nu devant son peuple sans que personne n'ose le lui dire, jusqu'à ce qu'un enfant lui dise la vérité.
Efforts pour Comprendre
Grothendieck décrit ses efforts pour comprendre et digérer cette découverte, cherchant à rendre intelligible ce qui lui semblait incroyable. Il parle de ses tentatives pour situer cette révélation dans le contexte de son vécu et pour trouver un sens à ce qui lui arrivait.
Cette vague débouche sur un premier aboutissement provisoire dans la note "Le Fossoyeur - ou la Congrégation toute entière". Dans cette note, Grothendieck tente de discerner une explication et un sens à l'Enterrement, qu'il décrit comme un défi redoutable au bon sens. Il utilise cette note pour articuler ses réflexions et ses sentiments face à la suppression de son œuvre.
Épisode Maladie
Grothendieck mentionne également un épisode maladie qui l'a contraint à un repos absolu pendant plus de trois mois, interrompant toute activité intellectuelle. Cet épisode est survenu à un moment où il croyait avoir presque terminé Récoltes et Semailles. Cette interruption forcée l'a obligé à revenir sur son travail avec des yeux nouveaux, renouvelant ainsi sa réflexion et sa compréhension de l'Enterrement.
La deuxième vague, L'Enterrement (1) - ou la robe de l'Empereur de Chine, est une exploration profonde et personnelle de la découverte de la suppression de l'œuvre de Grothendieck. Elle illustre ses efforts pour comprendre et faire face à cette révélation.
Troisième Vague : L'Enterrement (2) - ou la Clef du Yin et du Yang
La troisième vague, intitulée "L'Enterrement (2) - ou la Clef du Yin et du Yang", est une réflexion sur la dualité et l'équilibre entre les forces opposées. Grothendieck explore comment ces concepts influencent sa vie et son travail, et comment ils se manifestent dans ses découvertes mathématiques.
Quatrième Vague : L'Enterrement (3) - ou Les Quatre Opérations
La quatrième vague, intitulée "L'Enterrement (3) - ou Les Quatre Opérations", est issue d'une note initialement prévue pour résumer les révélations de l'enquête précédente. Cette partie est la plus longue de Récoltes et Semailles et constitue une enquête approfondie sur les événements et les découvertes qui ont marqué la carrière de Grothendieck. Elle inclut des digressions mathématiques importantes et des récits de mésaventures de collègues .
3.11. Mouvement et structure
Grothendieck explore la relation entre le mouvement et la structure dans les mathématiques. Il explique comment ces concepts sont interconnectés et comment ils ont influencé son travail et sa pensée.
3.12. Spontanéité et rigueur
Il parle de l'importance de la spontanéité et de la rigueur dans la recherche mathématique. Il explique que ces qualités sont complémentaires et essentielles pour faire des découvertes significatives.
3.13. Le spectographe à bouteilles
Enfin, Grothendieck utilise la métaphore du « spectographe à bouteilles » pour décrire son approche de la recherche mathématique. Il explique que cette approche consiste à examiner attentivement chaque détail et à chercher des connexions et des structures cachées.
Dans la troisième partie, Grothendieck partage ses expériences, ses défis et ses triomphes, offrant un aperçu unique de son parcours mathématique et de sa quête de vérité et de compréhension.
Partie IV : L’Enterrement (3) - ou les Quatre Opérations
Dans la quatrième partie de Récoltes et Semailles, Grothendieck aborde plusieurs thèmes, y compris son voyage au Vietnam et ses réflexions sur l'impact potentiel négatif des recherches mathématiques, notamment en relation avec des applications militaires comme la bombe atomique.
Voyage au Vietnam et Réflexions sur l'Impact des Recherches Mathématiques
Grothendieck mentionne son voyage au Vietnam, où il a été confronté à la réalité de la guerre et à ses conséquences dévastatrices. Ce voyage a été une expérience marquante pour lui, le poussant à réfléchir sur le rôle des scientifiques et des mathématiciens dans un monde en conflit. Il décrit comment les armes chimiques utilisées par les Américains, comme l'agent orange, ont été conçues non pas pour tuer immédiatement, mais pour rendre les gens malades, nécessitant des soins médicaux et désorganisant ainsi le pays.
Impact Négatif des Recherches Mathématiques
Grothendieck exprime ses préoccupations concernant l'utilisation potentielle des découvertes mathématiques à des fins destructrices. Il évoque la bombe atomique comme un exemple de la manière dont les avancées scientifiques peuvent être détournées pour causer des destructions massives. Cette prise de conscience a influencé sa décision de quitter le monde académique et de se retirer de la recherche active.
Réflexions Éthiques
Il réfléchit sur les responsabilités éthiques des scientifiques et des mathématiciens. Grothendieck souligne l'importance de considérer les implications morales de leurs travaux et de s'assurer que leurs découvertes ne soient pas utilisées à des fins nuisibles. Il appelle à une prise de conscience collective et à une réflexion éthique dans la communauté scientifique.
Décision de Quitter les Mathématiques
Grothendieck explique que ses préoccupations éthiques et son désenchantement face à l'utilisation militaire des découvertes scientifiques ont joué un rôle crucial dans sa décision de quitter les mathématiques. Il a choisi de se retirer pour vivre en ermite, cherchant une vie de simplicité et de contemplation loin des pressions et des compromis du monde académique.
Activisme pour la Paix et l'Écologie
Avant de se retirer complètement, Grothendieck a été activiste pour la paix et l'écologie. Il a participé à des mouvements comme "Survivre et Vivre", un groupe à vocation pacifiste et écologique, qui a pris naissance en 1970. Ce groupe a évolué vers une direction de révolution culturelle, élargissant son audience en dehors des milieux scientifiques.
Partie V : Récoltes
La cinquième et dernière partie est intitulée Récoltes. Dans cette section, Grothendieck réfléchit sur les fruits de son travail et les leçons qu'il a apprises. Il discute de l'importance de la passion, du désir et de la méditation dans sa vie. Il explore également les thèmes de l'émerveillement, du renouveau et du cycle continu des semailles et des récoltes.
5.1. La note - ou la nouvelle éthique
Grothendieck commence par discuter de l'importance de l'éthique dans la recherche mathématique. Il explique que la véritable éthique ne réside pas seulement dans le respect des règles et des normes, mais aussi dans la passion et le désir de découvrir la vérité. Il souligne que cette éthique est essentielle pour maintenir l'intégrité et la créativité dans le travail scientifique.
5.2. Le limon et la source
Dans cette section, Grothendieck utilise la métaphore du limon et de la source pour décrire le processus de découverte en mathématiques. Il explique que le limon représente les idées et les concepts qui nourrissent la source de la créativité. Il souligne l'importance de rester connecté à cette source pour maintenir la vitalité et l'innovation dans la recherche.
5.3. Mes passions
Grothendieck parle de ses passions pour les mathématiques et la méditation. Il explique que ces deux passions sont les moteurs de sa vie et de son travail. Il décrit comment elles se complètent et se renforcent mutuellement, lui permettant de naviguer entre le monde des idées abstraites et celui de la contemplation intérieure.
5.4. Désir et méditation
Il explore la relation entre le désir et la méditation, expliquant que le désir est une force motrice qui pousse à la découverte et à l'innovation. La méditation, quant à elle, permet de canaliser ce désir et de le transformer en une quête de vérité et de compréhension. Grothendieck souligne que ces deux aspects sont essentiels pour une vie équilibrée et épanouissante.
5.5. L’émerveillement
Grothendieck parle de l'importance de l'émerveillement dans la recherche scientifique. Il explique que l'émerveillement est une source de motivation et d'inspiration, permettant de voir le monde avec des yeux neufs et de découvrir des vérités cachées. Il considère que l'émerveillement est une qualité essentielle pour tout chercheur, car il nourrit la curiosité et l'enthousiasme.
5.6. Pulsion de retour et renouvellement
Dans cette section, Grothendieck explore le concept de la pulsion de retour, c'est-à-dire le désir de revenir aux sources de la créativité et de renouveler son inspiration. Il explique que ce processus de retour et de renouvellement est essentiel pour maintenir la vitalité et l'innovation dans la recherche. Il parle de l'importance de rester connecté à ses racines et de se ressourcer régulièrement pour éviter l'épuisement et la stagnation.
La cinquième partie est une réflexion profonde sur les fruits du travail de Grothendieck et les leçons qu'il a apprises au cours de sa vie. Il explore des thèmes tels que l'éthique, la passion, le désir, la méditation, l'émerveillement et le renouvellement, offrant un aperçu de sa philosophie et de sa vision de la recherche scientifique.
Dans la conclusion de Récoltes et Semailles, Alexandre Grothendieck offre des réflexions profondes sur les thèmes traités, et sur la manière dont ces concepts s'appliquent à sa vie et à son travail.
Il précisequ'il n'y a pas de "mot de la fin" ou de "conclusions" dans Récoltes et Semailles, tout comme il n'y en a pas dans la vie. Il compare son travail à un vin vieilli pendant une vie, où chaque verre est unique mais fait partie d'un tout cohérent. Il souligne que chaque page de son œuvre a sa place et sa fonction, et qu'il n'aurait pu faire l'économie d'aucune d'elles.
Amertume et Nourriture Spirituelle
Grothendieck parle de la récolte, même amère, comme d'une source de nourriture spirituelle. Il explique que l'amertume disparaît lorsque la substance de la récolte est intégrée et transformée en connaissance. Il considère que chaque expérience, qu'elle soit positive ou négative, a une valeur nourricière et peut contribuer à la croissance personnelle et spirituelle.
Cycle Continu de Semailles et Récoltes
Il souligne que les récoltes sont aussi des semailles pour d'autres récoltes, souvent plus amères que celles qui les ont précédées. Grothendieck exprime une acceptation sereine de ce cycle apparemment sans fin, reconnaissant qu'il y a une substance nourricière dans tout ce qui lui arrive, que les semailles soient de sa main ou de celle d'autrui.
Transmission et Héritage
Grothendieck parle de la transmission de ses semailles et de ses récoltes à ses enfants et à ceux qu'il aime. Il reconnaît que les générations futures récolteront ce qu'il a semé, tout comme il a récolté ce que d'autres ont semé avant lui. Il voit cela comme une chaîne de transmission de connaissances et d'expériences, où chaque génération contribue à la suivante.